t888の遊び場どりゃ

数学短歌（AIと創った歌）

• ひとり立つ　素数の列に　君を見て　割り切れぬまま　互いに素の恋
  ・テーマ：素数と恋愛
  ・「ひとり立つ 素数の列に」：素数を「誰にも頼らず, ひとりで立っている孤独な存在」に見立てている.
  ・「君を見て」：そんな素数の姿に, どこか孤独で近寄りがたい「君」を重ねている.
  ・「割り切れぬまま」：数学的には素数は割り切れない整数の関係であり, 恋愛的には、相手への気持ちを整理できない.
  ・「互いに素の恋」：君と私には1以外に共通するものがない. 数学的には美しい関係なのに恋愛としては切ない.
• 三つ星に　等しく遠き　我が身かな　鈍き三角の　外に佇む
  ・テーマ：三角形の外心と孤独
  ・三角形の外心とは垂直二等分線の交点のことであり, 外接円の中心である.
  ・三角形が鈍角の場合は, 外心は三角形の外側にあることを下の句で表現している.
  ・仲の良い4人組のうち, 私以外の三人を「三つ星」に見立てた歌である. 3人のことを分け隔てなく大切に思っていたはずが, 気づけば自分だけが輪の外に取り残されていた. 三角形の三頂点から等距離にありながら, 鈍角三角形ではその外側に位置する「外心」に, そんな寂しさを重ねた. 等しく想うことと, 共にいられることは, 必ずしも同じではない. 等距離にありながら孤独である.
• 百段を　登り終えても　靴の底　昨日と同じ　小石がひとつ
  ・テーマ：正整数$ n $に対して, $4^n-1 $が常に3の倍数であることを帰納法で示してしまった滑稽さ
  ・$4^n-1 $が3の倍数であることを帰納法で示すことはできるが, そんなことより$ 4\equiv1\pmod3 $であることに気付ければ瞬殺できたことを悔やむ歌.
  ・「百段」は帰納法による積み重ね, 「小石がひとつ」は4を3で割った余りは常に1であることに対応する.
  ・苦労して百段を登ったのに, 最初から足元にあった小石ひとつに気づかなかった, という滑稽さも感じられる.
  
• 君といた　日数ばかり　数えてた　違う日々にも　君はいたのに
  ・テーマ：反復試行において二項係数を考え忘れたことに気付いた今と恋愛
  ・次のような問題を考えよう.
  　　「表裏が等確率で出るコインを10回投げたとき, 3回表が出る確率を求めよ.」
  もちろん, 求める確率は${}_{10} \mathrm{C}_3(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^7 $である. しかし求める確率を$(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^7$と間違えてしまう人もいるだろう. これは「10回表が出る確率」と等しいため, 不正解である.
  ・この歌は, 二項係数${}_{10}\mathrm{C}_3$を掛け忘れてしまうという数学的な失敗に,「君といた日数」という結果ばかりに目を向け, 君と過ごす日々に様々な巡り合わせがあり得たことを見落としていた切なさを重ねたものである.
  
• 昨日だけ　頼りに明日を　ゆくはずが　おとといの君に　道を尋ねる
  ・テーマ：仮定が足りなかったら追加すればいいじゃない精神の帰納法と恋愛
  ・恋愛的には昨日の君との思い出だけを頼りに明日へ進もうとするけれど, それでは足りず, さらに昔の君にまで心が向かうという歌.
  ・数学的には帰納法の歌. 次のような問題を考えよう.
  　　「$\alpha+\beta, \alpha\beta $が共に有理数であるとき, すべての正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$も有理数であることを示せ.」
  これは帰納法により示すことができる. まず$ n=1 $のときはok. $ n $のとき成り立つと仮定して$ n+1 $のときを示せばよい. しかし
  $\qquad\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
  という式変形を考えると, $n $だけの仮定では仮定が足りず題意を示すことができない. そこで$ n-1 $のときも成り立つという帰納法の仮定を追加すれば示すことができるということに気が付く.
  ・このように, 1つ前のことだけでは先へ進めないとき, もう1つ前に立ち返ることで道が開けることがある. 昨日の君だけでは足りず, おとといの君に道を尋ねるというこの歌には, 必要ならば仮定を増やしてしまおうという帰納法の柔軟な発想と, 過去の思い出を頼りに未来へ進もうとする恋心を重ねている.
• Noetherの　環に咲き継ぐ　火の花も　いつかは止まる　夏の夜の果て
  ・テーマ：Noether環と線香花火
  ・Noether環のイデアルの昇鎖条件と, 線香花火の火花が次々に生まれやがて途絶える情景を重ねた歌.
  ・都数の合宿にて, 線香花火をしているときに誰かが儚さをNoether環に例えたことをヒントに創った歌.
• 遠回り　したはずなのに　また君へ　巡る軌道は　君を忘れず
  ・テーマ：前周期性と恋愛
  ・力学系$ \phi\colon X\to X $と$ x\in X $に対して, $\phi^m(x)=\phi^n(x) $を満たす整数$ m>n\geq0 $が存在するとき, $x $を$ \phi $の前周期点という.
  
• いくつもの　閉じたるものの　交わりは　果てなき果てに　なお一点あり
  ・テーマ：コンパクト集合の有限交叉性
  ・コンパクト集合$X$の閉集合族$ \{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$に対して, $\bigcap_{\lambda\in I}F_\lambda\neq\varnothing (\forall I\subset\Lambda, |I|<\infty)$ならば, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\varnothing$が成り立つことを読んだ歌.
  ・上の句は, どの有限個の閉集合を選んでも共通部分が空でないという仮定を表している. 一方下の句は, 閉集合族全体の共通部分にも点が存在するという結論を表している.
• 庭先の　柵を越えたる　枝ばかり　秋の深さを　年輪に刻む
  ・テーマ：Mahler測度に関するJensenの公式
  ・庭先の木が柵を越えて枝を伸ばし, 秋を迎える情景を詠んだ歌. 外へ伸びた枝に季節の移ろいを感じ, その歳月が年輪として刻まれていく様子を表している.
  ・ここで唐突であるが, Mahler測度を定義しよう. 多項式 $P=a\prod_{i}(x-\alpha_i)\in\mathbb{C}[z]$に対して, $P$ のMahler測度$m(P)$を次のように定める.
  $\qquad m(P):=\int_0^1\log|P(e^{2\pi i\theta})|\,d\theta.$
  このようにMahler測度は単位円周上の積分により定められるが, Jensenの公式によりMahler測度は次のように根の大きさで書ける.
  $\qquad m(P)=\log|a|+\sum_{i=1}\log\max\{1,|\alpha_i|\}$.
  ・「庭先の柵」は単位円, 「枝」は多項式の根に対応する. 「柵を越えたる枝ばかり」は, 単位円の外側の根だけがMahler測度に寄与することを表す. 「年輪」は対数の暗喩. 木が成長した年月を年輪に刻むように, 外側の根の絶対値が積み重なって一つの値となる.
  ・柵の内側にも枝は伸びているが, 外へ伸びた枝だけが秋の深さを年輪に刻む. これは, 単位円の外側の根だけがMahler測度に寄与するという性質を表している.